Kahan 求和

简介¶

Kahan 求和 算法，又名补偿求和或进位求和算法，是一个用来 降低有限精度浮点数序列累加值误差 的算法。它主要通过保持一个单独变量用来累积误差（常用变量名为）来完成的。

该算法主要由 William Kahan 于 1960s 发现。因为 Ivo Babuška 也曾独立提出了一个类似的算法，Kahan 求和算法又名为 Kahan-Babuška 求和算法。

舍入误差¶

在计算机程序中，因为电脑的内存不是无限的，无限实数实际上并不能用无限内存表示。很多时候我们需要将无限实数压缩为有限位数做近似表示。大多数程序最多存储位或位计算值。例如在一个位的程序，常见的数字存储方式是在第位表示正负，到位表示整数位值，起到结尾表示浮点位值。但对于无限数字，例如常见的，我们不能在有限位数内对它进行精准表示，因此在使用前文提到的存储办法时，必须四舍五入一部分数值（truncate)。这种 舍入误差（Rounding off error）是浮点计算的一个特征。

在浮点加法计算中，交换律（commutativity）成立，但结合律（associativity）不成立。也就是说，但。因此在浮点序列加法计算中，我们可以从左到右一个个累加，也可以在原有顺序上，将他们两两分成一对。第二种算法会相对较慢并需要更多内存，也常被一些语言的特定求和函数使用，但相对结果更准确。

为了得到更准确的浮点累加结果，我们需要使用 Kahan 求和算法。

在计算（为浮点序列的一个数值）时，定义实际计算加入的值为 , 如果比大，则证明有向上舍入误差；如果比小，则证明有向下舍入误差。则舍入误差定义为。那么用来纠正这部分舍入误差的值就为 , 即的负值。定义是对丢失的低位进行运算补偿的变量，就可以得到。

算法¶

Kahan 求和算法主要通过一个单独变量用来累积误差。如下方参考代码所示，为最终返回的累加结果。是对丢失的低位进行运算补偿的变量（其被舍去的部分），也是 Kahan 求和算法中的必要变量。

因为大，小，所以的低位数丢失。抵消了的高阶部分，减去则会恢复负值（的低价部分）。因此代数值中始终为零。在下一轮迭代中，丢失的低位部分会被更新添加到。

参考代码

float kahanSum(vector<float> nums) {
  float sum = 0.0f;
  float c = 0.0f;
  for (auto num : nums) {
    float y = num - c;
    float t = sum + y;
    c = (t - sum) - y;
    sum = t;
  }
  return sum;
}

习题¶

在 OI 中，Kahan 求和主要作为辅助工具存在，为计算结果提供误差更小的值。

例题 CodeForces Contest 800 Problem A. Voltage Keepsake

有个同时使用的设备。第个设备每秒使用单位的功率。这种用法是连续的。也就是说，在秒内，设备将使用单位的功率。第个设备当前存储了单位的电力。所有设备都可以存储任意数量的电量。有一个可以插入任何单个设备的充电器。充电器每秒会为设备增加个单位的电量。这种充电是连续的。也就是说，如果将设备插入秒，它将获得单位的功率。我们可以在任意时间单位内（包括实数）切换哪个设备正在充电（切换所需时间忽略不计）。求其中一个设备达到单位功率前，可以使用这些设备的最长时间。

例题 CodeForces Contest 504 Problem B. Misha and Permutations Summation

定义数字的两个排列和的和为，其中是数字的第个字典排列（从零开始计数），是字典序排列的个数。例如，，。Misha 有两个排列和，找到它们的总和。

编程语言的求和¶

Python 的标准库指定了精确舍入求和的 fsum 函数可用于返回可迭代对象中值的准确浮点总和，它通过使用 Shewchuk 算法跟踪多个中间部分和来避免精度损失。

Julia 语言中，sum 函数的默认实现是成对求和，以获得高精度和良好的性能。同时外部库函数 sum_kbn 为需要更高精度的情况提供了 Neumaier 变体的实现，具体可见 KahanSummation.jl。

参考资料与注释¶

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