卡特兰数

Catalan 数列

以下问题属于 Catalan 数列：

  1. 有 2n 个人排成一行进入剧场。入场费 5 元。其中只有 n 个人有一张 5 元钞票，另外 n 人只有 10 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 10 元的人买票，售票处就有 5 元的钞票找零？
  2. 一位大城市的律师在她住所以北 n 个街区和以东 n 个街区处工作。每天她走 2n 个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
  3. 在圆上选择 2n 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 n 条线段不相交的方法数？
  4. 对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数？
  5. 一个栈（无穷大）的进栈序列为 1,2,3, \cdots ,n 有多少个不同的出栈序列？
  6. n 个结点可构造多少个不同的二叉树？
  7. n 个 +1 和 n 个 -1 构成 2n 项 a_1,a_2, \cdots ,a_{2n} ，其部分和满足 a_1+a_2+ \cdots +a_k \geq 0(k=1,2,3, \cdots ,2n) 对与 n 该数列为？

其对应的序列为：

H_0 H_1 H_2 H_3 H_4 H_5 H_6 ...
1 1 2 5 14 42 132 ...

(Catalan 数列）

递推式

该递推关系的解为：

H_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}(n \geq 2, n \in \mathbf{N_{+}})

关于 Catalan 数的常见公式：

H_n = \begin{cases} \sum_{i=1}^{n} H_{i-1} H_{n-i} & n \geq 2, n \in \mathbf{N_{+}}\\ 1 & n = 0, 1 \end{cases}
H_n = \frac{H_{n-1} (4n-2)}{n+1}
H_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1}
例题洛谷 P1044 栈

题目大意：入栈顺序为 1,2,\ldots ,n ，求所有可能的出栈顺序的总数。

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// C++ Version
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
long long f[25];
int main() {
  f[0] = 1;
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = f[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);
  // 这里用的是常见公式2
  cout << f[n] << endl;
  return 0;
}

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# Python Version
f = [0] * 25
f[0] = 1
n = int(input())
for i in range(1, n + 1):
    f[i] = int(f[i - 1] * (4 * i - 2) // (i + 1))
    # 这里用的是常见公式2
print(f[n])

路径计数问题

非降路径是指只能向上或向右走的路径。

  1. 从 (0,0) 到 (m,n) 的非降路径数等于 m 个 x 和 n 个 y 的排列数，即 \dbinom{n + m}{m} 。

  2. 从 (0,0) 到 (n,n) 的除端点外不接触直线 y=x 的非降路径数：

    先考虑 y=x 下方的路径，都是从 (0, 0) 出发，经过 (1, 0) 及 (n, n-1) 到 (n,n) ，可以看做是 (1,0) 到 (n,n-1) 不接触 y=x 的非降路径数。

    所有的的非降路径有 \dbinom{2n-2}{n-1} 条。对于这里面任意一条接触了 y=x 的路径，可以把它最后离开这条线的点到 (1,0) 之间的部分关于 y=x 对称变换，就得到从 (0,1) 到 (n,n-1) 的一条非降路径。反之也成立。从而 y=x 下方的非降路径数是 \dbinom{2n-2}{n-1} - \dbinom{2n-2}{n} 。根据对称性可知所求答案为 2\dbinom{2n-2}{n-1} - 2\dbinom{2n-2}{n} 。

  3. 从 (0,0) 到 (n,n) 的除端点外不穿过直线 y=x 的非降路径数：

    用类似的方法可以得到： \dfrac{2}{n+1}\dbinom{2n}{n}

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