欧拉图

本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。

定义

通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。

通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的无向图或有向图称为欧拉图。

具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图或有向图称为半欧拉图。

有向图也可以有类似的定义。

非形式化地讲，欧拉图就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图，半欧拉图必须从某个点开始才能一笔画完整个图。

性质

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若 G 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。

判别法

对于无向图 G ， G 是欧拉图当且仅当 G 是连通的且没有奇度顶点。

对于无向图 G ， G 是半欧拉图当且仅当 G 是连通的且 G 中恰有 0 个或 2 个奇度顶点。

对于有向图 G ， G 是欧拉图当且仅当 G 的所有顶点属于同一个强连通分量且每个顶点的入度和出度相同。

对于有向图 G ， G 是半欧拉图当且仅当

  • 如果将 G 中的所有有向边退化为无向边时，那么 G 的所有顶点属于同一个连通分量。
  • 最多只有一个顶点的出度与入度差为 1 。
  • 最多只有一个顶点的入度与出度差为 1 。
  • 所有其他顶点的入度和出度相同。

求欧拉回路或欧拉路

Fleury 算法

也称避桥法，是一个偏暴力的算法。

算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。

一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 \Theta(m(n+m))=\Theta(m^2) 。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。

Hierholzer 算法

也称逐步插入回路法。

算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。

Hierholzer 算法的暴力实现如下：

\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v) \\ 2 & \textbf{Output. } \text{The vertex of the Euler Road of the input graph}.\\ 3 & \textbf{Method. } \\ 4 & \textbf{Function } \text{Hierholzer } (v) \\ 5 & \qquad circle \gets \text{Find a Circle in } e \text{ Begin with } v \\ 6 & \qquad \textbf{if } circle=\varnothing \\ 7 & \qquad\qquad \textbf{return } v \\ 8 & \qquad e \gets e-circle \\ 9 & \qquad \textbf{for} \text{ each } v \in circle \\ 10& \qquad\qquad v \gets \text{Hierholzer}(v) \\ 11& \qquad \textbf{return } circle \\ 12& \textbf{Endfunction}\\ 13& \textbf{return } \text{Hierholzer}(\text{any vertex}) \end{array}

这个算法的时间复杂度约为 O(nm+m^2) 。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。

如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 \Theta(n+m\log m) （计数排序或者基数排序可以优化至 \Theta(n+m) ）。如果不需要排序，时间复杂度是 \Theta(n+m) 。

应用

有向欧拉图可用于计算机译码。

设有 m 个字母，希望构造一个有 m^n 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 n 位对应长为 n 的符号串。转动一周（ m^n 次）后得到由 m 个字母产生的长度为 n 的 m^n 个各不相同的符号串。

构造如下有向欧拉图：

设 S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\} ，构造 D=<V, E> ，如下：

V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}

E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}

规定 D 中顶点与边的关联关系如下：

顶点 a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} 引出 m 条边： a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m 。

边 a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}} 引入顶点 a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}} 。

这样的 D 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 m ），所以 D 是有向欧拉图。

任求 D 中一条欧拉回路 C ，取 C 中各边的最后一个字母，按各边在 C 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。

例题

洛谷 P2731 骑马修栅栏

给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。

在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。

边的数量 m 满足 1\leq m \leq 1024 。

解题思路

用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是换 Hierholzer 算法吧。

保存答案可以使用 stack<int>，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。

注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 \Theta(nm) 。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。

示例代码 
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  #include <algorithm>
  #include <cstdio>
  #include <stack>
  #include <vector>
  using namespace std;

  struct edge {
    int to;
    bool exists;
    int revref;

    bool operator<(const edge& b) const { return to < b.to; }
  };

  vector<edge> beg[505];
  int cnt[505];

  const int dn = 500;
  stack<int> ans;

  void Hierholzer(int x) {  // 关键函数
    for (int& i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
      if (beg[x][i].exists) {
        edge e = beg[x][i];
        beg[x][i].exists = 0;
        beg[e.to][e.revref].exists = 0;
        ++i;
        Hierholzer(e.to);
      } else {
        ++i;
      }
    }
    ans.push(x);
  }

  int deg[505];
  int reftop[505];

  int main() {
    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
      beg[i].reserve(1050);  // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
    }

    int m;
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      int a, b;
      scanf("%d%d", &a, &b);
      beg[a].push_back((edge){b, 1, 0});
      beg[b].push_back((edge){a, 1, 0});
      ++deg[a];
      ++deg[b];
    }

    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
      if (!beg[i].empty()) {
        sort(beg[i].begin(), beg[i].end());  // 为了要按字典序贪心，必须排序
      }
    }

    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
      for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
        beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
      }
    }

    int bv = 0;
    for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
      if (!deg[bv] && deg[i]) {
        bv = i;
      } else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
        bv = i;
      }
    }

    Hierholzer(bv);

    while (!ans.empty()) {
      printf("%d\n", ans.top());
      ans.pop();
    }
  }

习题

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